1) На числовой прямой даны два отрезка: P = [5, 15] и Q = [10,20]. Выберите такой отрезок A, что формула (x P) /\ (x Q) /\ (x A) тождественно ложна, то есть принимает значение 0 при любом значении переменной х. 1) [0, 7] 2) [8, 15] 3) [15, 20] 4)[7, 20]
Чтобы выбрать такой отрезок ( A ), при котором формула ((x \in P) \land (x \notin Q) \land (x \in A)) будет тождественно ложной, необходимо понять, что эта формула означает.
Формула ((x \in P) \land (x \notin Q) \land (x \in A)) будет ложной, если для любого ( x ):
Для формулы быть тождественно ложной, не должно существовать такого ( x ), который одновременно удовлетворяет всем трем условиям. Рассмотрим пересечение отрезков ( P ) и ( Q ):
[ P = [5, 15] ] [ Q = [10, 20] ]
Пересечение ( P ) и ( Q ) будет отрезком ([10, 15]). Это значит, что часть отрезка ( P ), которая не пересекается с ( Q ), будет ([5, 10)).
Для того чтобы формула была ложной при любом ( x ), нужно чтобы отрезок ( A ) не включал в себя никакие значения из отрезка ([5, 10)), так как именно эти значения удовлетворяют условиям ( x \in P ) и ( x \notin Q ).
Теперь проверим предложенные варианты:
1) ([0, 7]) — пересекается с отрезком ([5, 10)), следовательно, формула может быть истинной, если ( x \in [5, 7] ).
2) ([8, 15]) — пересекается с отрезком ([5, 10)), следовательно, формула может быть истинной, если ( x \in [8, 10)).
3) ([15, 20]) — не пересекается с отрезком ([5, 10)), однако включает 15, который является границей, и формула будет ложной, поскольку 15 принадлежит обоим отрезкам ( P ) и ( Q ).
4) ([7, 20]) — пересекается с отрезком ([5, 10)), следовательно, формула может быть истинной, если ( x \in [7, 10)).
Таким образом, единственный отрезок ( A ), который делает данную формулу тождественно ложной, это ([15, 20]).
Для того чтобы формула (x P) /\ (x Q) /\ (x A) была тождественно ложна, необходимо, чтобы выполнялось хотя бы одно из условий: x не принадлежит отрезку P, x принадлежит отрезку Q, x не принадлежит отрезку A.
Из условий задачи видно, что отрезки P и Q пересекаются в отрезке [10, 15]. Таким образом, для того чтобы формула была ложной, нужно чтобы отрезок A пересекался и с P, и с Q.
Ответ: 4) [7, 20]
Ответ: 3) [15, 20]
