1) Уравнение (2^{2x-1} \, \text{(Мбайт)} = 16^{x-3} \, \text{(бит)}.
Чтобы решить это уравнение, нужно выполнить следующие шаги:
- Преобразуем (16^{x-3}) как ( (2^4)^{x-3} = 2^{4(x-3)}). Тогда уравнение становится:
[
2^{2x-1} = 2^{4(x-3)}.
]
- Приравниваем степени (так как основания равны):
[
2x - 1 = 4(x - 3).
]
- Раскрываем скобки и упрощаем:
[
2x - 1 = 4x - 12.
]
- Переносим все переменные (x) в одну сторону, а числа в другую:
[
12 - 1 = 4x - 2x,
]
[
11 = 2x.
]
- Делим обе стороны на 2:
[
x = \frac{11}{2} = 5.5.
]
Ответ: (x = 5.5).
2) Количество возможных событий при количестве информации (I = 3 \, \text{бит}):
Информация в битах определяется формулой:
[
I = \log_2(N),
]
где (N) — количество возможных событий.
Подставляем (I = 3):
[
3 = \log_2(N).
]
Это означает, что:
[
N = 2^3 = 8.
]
Ответ: (N = 8.)
3) Определение количества символов в алфавите:
Объем сообщения (V) определяется формулой:
[
V = k \cdot i,
]
где (k) — количество символов, (i) — информация на один символ (в битах).
Задача дана в килобайтах, поэтому переводим: (V = 5 \, \text{Кбайт} = 5 \cdot 1024 \cdot 8 \, \text{бит} = 40960 \, \text{бит}).
Количество символов (k = 2560). Тогда информация на один символ:
[
i = \frac{V}{k} = \frac{40960}{2560} = 16 \, \text{бит}.
]
Если каждый символ кодируется 16 битами, то размер алфавита (N) определяется формулой:
[
i = \log_2(N).
]
Подставляем (i = 16):
[
16 = \log_2(N).
]
Это означает:
[
N = 2^{16} = 65536.
]
Ответ: алфавит содержит (65536) символов.
4) Два сообщения с одинаковым количеством информации:
Пусть:
- (k_1) — количество символов в первом сообщении,
- (k_2) — количество символов во втором сообщении ((k_2 = 2.5 \cdot k_1)),
- (i_1) и (i_2) — количество информации на один символ в первом и втором сообщении (в битах),
- Алфавиты содержат (N_1) и (N_2) символов соответственно.
Информация в сообщении выражается как:
[
I_1 = k_1 \cdot i_1, \quad I_2 = k_2 \cdot i_2.
]
Из условия (I_1 = I_2) подставляем (k_2 = 2.5 \cdot k_1):
[
k_1 \cdot i_1 = 2.5 \cdot k_1 \cdot i_2.
]
Сокращаем на (k_1) (оно не равно нулю):
[
i_1 = 2.5 \cdot i_2.
]
Информация на один символ связана с алфавитом как:
[
i_1 = \log_2(N_1), \quad i_2 = \log_2(N_2).
]
Подставляем (i_1 = 2.5 \cdot i_2):
[
\log_2(N_1) = 2.5 \cdot \log_2(N_2).
]
Это эквивалентно:
[
\log_2(N_1) = \log_2(N_2^{2.5}).
]
Сравниваем основания логарифмов:
[
N_1 = N_2^{2.5}.
]
Подбираем значения (N_1) и (N_2), чтобы они удовлетворяли условию ((N_1) и (N_2) — целые числа, не превышающие 32). Находим:
[
N_1 = 32, \quad N_2 = 4.
]
Ответ: алфавиты содержат (N_1 = 32) и (N_2 = 4).
5) Контрольная в классе из 28 человек:
Всего (N = 28) человек. Вероятность каждого события (получения оценки) равна:
[
P(\text{оценка}) = \frac{\text{количество человек с этой оценкой}}{N}.
]
Информация об оценке определяется формулой:
[
I = -\log_2(P).
]
а. Информация о том, что Петров получил тройку:
Количество троек: 5. Вероятность:
[
P(\text{тройка}) = \frac{5}{28}.
]
Информация:
[
I = -\log_2\left(\frac{5}{28}\right).
]
Вычисляем:
[
I = -\log_2(0.17857) \approx 2.485 \, \text{бит}.
]
Ответ: (I \approx 2.485 \, \text{бит}.)
b. Информация об оценке Васечкина:
Для оценки Васечкина нужно найти среднюю информацию по всем оценкам. Используем формулу:
[
I{\text{среднее}} = -\sum{i=1}^{n} P_i \cdot \log_2(P_i),
]
где (P_i) — вероятность получения каждой оценки.
Вероятности:
[
P(\text{пятерка}) = \frac{5}{28}, \quad P(\text{четверка}) = \frac{16}{28}, \quad P(\text{тройка}) = \frac{5}{28}, \quad P(\text{двойка}) = \frac{2}{28}.
]
Тогда:
[
I_{\text{среднее}} = -\left(\frac{5}{28} \cdot \log_2\frac{5}{28} + \frac{16}{28} \cdot \log_2\frac{16}{28} + \frac{5}{28} \cdot \log_2\frac{5}{28} + \frac{2}{28} \cdot \log_2\frac{2}{28}\right).
]
Вычисляем:
[
I_{\text{среднее}} \approx 1.88 \, \text{бит}.
]
Ответ: (I_{\text{среднее}} \approx 1.88 \, \text{бит}.)
