1. В ящике лежат 36 красных и несколько зеленых яблок. Сообщение "из ящика достали зеленое яблоко" несет...

1. Предположим, что в ящике лежит х зеленых яблок. Тогда изначально в ящике было 36 + х яблок. После того, как из ящика достали зеленое яблоко, осталось х зеленых и 36 красных яблок. Сообщение "из ящика достали зеленое яблоко" несет 2 бита информации, что означает, что мы смогли узнать долю зеленых яблок относительно всех яблок в ящике. Так как формула для вычисления информационного объема в битах выглядит как I = log2(N), где N - количество возможных состояний системы, то в данном случае N = 36 + х. Таким образом, уравнение будет выглядеть как 2 = log2(36 + х), откуда 2 = log2(36 + х) = 2^2 = 36 + х, следовательно х = 0. Таким образом, в ящике лежит 36 красных яблок и 0 зеленых.

2. Предположим, что в зале находится у юношей. Сообщение "первым выйдет юноша" содержит 1 бит информации, так как мы узнали только одно состояние из двух возможных (юноша или девушка). По формуле I = log2(N), где N - количество возможных состояний системы, имеем уравнение 1 = log2(270 + у), где у - количество юношей в зале. Таким образом, 1 = log2(270 + у) = 2^1 = 270 + у, откуда у = 1. Значит, в зале находится 1 юноша.

Для решения обеих задач будем использовать концепцию из теории информации, согласно которой количество информации в сообщении можно выразить через вероятность события, о котором идет речь в сообщении.

Задача 1

Дано:

• В ящике 36 красных яблок.
• Сообщение о том, что из ящика достали зеленое яблоко, несет 2 бита информации.

Решение:

1. Количество информации ( I ) в битах, получаемое из события, можно определить по формуле: [ I = -\log_2(P) ] где ( P ) – вероятность события.

2. По условию ( I = 2 ) бита, тогда: [ 2 = -\log_2(P) ] [ \log_2(P) = -2 ] [ P = 2^{-2} = \frac{1}{4} ] Это означает, что вероятность того, что достанут зеленое яблоко, равна ( \frac{1}{4} ).

3. Пусть всего в ящике ( x ) зеленых яблок, тогда общее число яблок составляет ( 36 + x ).

4. Так как вероятность вытащить зеленое яблоко ( \frac{1}{4} ), то: [ \frac{x}{36 + x} = \frac{1}{4} ] [ 4x = 36 + x ] [ 3x = 36 ] [ x = 12 ]

Таким образом, в ящике 12 зеленых яблок, всего 48 яблок.

Задача 2

Дано:

• В концертном зале 270 девушек.
• Сообщение о том, что первым выйдет юноша, содержит 1 бит информации.

Решение:

1. По аналогии с первой задачей, используем формулу: [ I = -\log_2(P) ] Известно, что ( I = 1 ) бит: [ 1 = -\log_2(P) ] [ \log_2(P) = -1 ] [ P = 2^{-1} = \frac{1}{2} ] Вероятность того, что первым выйдет юноша, равна ( \frac{1}{2} ).

2. Пусть в зале ( y ) юношей, тогда общее количество людей в зале ( 270 + y ).

3. Вероятность того, что первым выйдет юноша: [ \frac{y}{270 + y} = \frac{1}{2} ] [ 2y = 270 + y ] [ y = 270 ]

Таким образом, в зале 270 юношей.