-Чему равны веса разрядов справа от точки, разделяющей целую и дробную часть, в двоичной системе счисления...

В системах счисления, таких как двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная, представление чисел включает как целую, так и дробную части. Точка, разделяющая эти части, называется "разделительной точкой" или "точкой". В каждом из этих систем счисления разряды имеют свои веса в зависимости от их положения относительно точки.

Веса разрядов справа от точки

1. Двоичная система счисления (база 2)

   • В двоичной системе каждый разряд справа от точки имеет вес, который является отрицательной степенью двойки.
   • Формально, если ( d_i ) — это цифра в разряде, то её вес равен ( 2^{-i} ).
   • Например, в числе 0.101 в двоичной системе:
     • Первый разряд справа от точки: (1 \cdot 2^{-1} = 1 \cdot 0.5 = 0.5)
     • Второй разряд справа от точки: (0 \cdot 2^{-2} = 0 \cdot 0.25 = 0)
     • Третий разряд справа от точки: (1 \cdot 2^{-3} = 1 \cdot 0.125 = 0.125)
   • Таким образом, число 0.101 в двоичной системе равно ( 0.5 + 0 + 0.125 = 0.625 ) в десятичной системе.

2. Восьмеричная система счисления (база 8)

   • В восьмеричной системе каждый разряд справа от точки имеет вес, который является отрицательной степенью восьмёрки.
   • Формально, если ( d_i ) — это цифра в разряде, то её вес равен ( 8^{-i} ).
   • Например, в числе 0.314 в восьмеричной системе:
     • Первый разряд справа от точки: (3 \cdot 8^{-1} = 3 \cdot 0.125 = 0.375)
     • Второй разряд справа от точки: (1 \cdot 8^{-2} = 1 \cdot 0.015625 = 0.015625)
     • Третий разряд справа от точки: (4 \cdot 8^{-3} = 4 \cdot 0.001953125 = 0.0078125)
   • Таким образом, число 0.314 в восьмеричной системе равно ( 0.375 + 0.015625 + 0.0078125 = 0.3984375 ) в десятичной системе.

3. Шестнадцатеричная система счисления (база 16)

   • В шестнадцатеричной системе каждый разряд справа от точки имеет вес, который является отрицательной степенью шестнадцати.
   • Формально, если ( d_i ) — это цифра в разряде, то её вес равен ( 16^{-i} ).
   • Например, в числе 0.A1F в шестнадцатеричной системе:
     • Первый разряд справа от точки: (A \cdot 16^{-1} = 10 \cdot 0.0625 = 0.625)
     • Второй разряд справа от точки: (1 \cdot 16^{-2} = 1 \cdot 0.00390625 = 0.00390625)
     • Третий разряд справа от точки: (F \cdot 16^{-3} = 15 \cdot 0.000244140625 = 0.003662109375)
   • Таким образом, число 0.A1F в шестнадцатеричной системе равно ( 0.625 + 0.00390625 + 0.003662109375 = 0.632568359375 ) в десятичной системе.

Веса разрядов слева от точки

1. Двоичная система счисления (база 2)

   • В двоичной системе каждый разряд слева от точки имеет вес, который является положительной степенью двойки.
   • Формально, если ( d_i ) — это цифра в разряде, то её вес равен ( 2^i ).
   • Например, в числе 1101.101 в двоичной системе:
     • Первый разряд слева от точки: (1 \cdot 2^0 = 1 \cdot 1 = 1)
     • Второй разряд слева от точки: (0 \cdot 2^1 = 0 \cdot 2 = 0)
     • Третий разряд слева от точки: (1 \cdot 2^2 = 1 \cdot 4 = 4)
     • Четвертый разряд слева от точки: (1 \cdot 2^3 = 1 \cdot 8 = 8)
   • Таким образом, число 1101.101 в двоичной системе равно ( 8 + 4 + 0 + 1 = 13 ) в десятичной системе.

2. Восьмеричная система счисления (база 8)

   • В восьмеричной системе каждый разряд слева от точки имеет вес, который является положительной степенью восьмёрки.
   • Формально, если ( d_i ) — это цифра в разряде, то её вес равен ( 8^i ).
   • Например, в числе 314.314 в восьмеричной системе:
     • Первый разряд слева от точки: (4 \cdot 8^0 = 4 \cdot 1 = 4)
     • Второй разряд слева от точки: (1 \cdot 8^1 = 1 \cdot 8 = 8)
     • Третий разряд слева от точки: (3 \cdot 8^2 = 3 \cdot 64 = 192)
   • Таким образом, число 314.314 в восьмеричной системе равно ( 192 + 8 + 4 = 204 ) в десятичной системе.

3. Шестнадцатеричная система счисления (база 16)

   • В шестнадцатеричной системе каждый разряд слева от точки имеет вес, который является положительной степенью шестнадцати.
   • Формально, если ( d_i ) — это цифра в разряде, то её вес равен ( 16^i ).
   • Например, в числе 1A3F.1A3 в шестнадцатеричной системе:
     • Первый разряд слева от точки: (F \cdot 16^0 = 15 \cdot 1 = 15)
     • Второй разряд слева от точки: (3 \cdot 16^1 = 3 \cdot 16 = 48)
     • Третий разряд слева от точки: (A \cdot 16^2 = 10 \cdot 256 = 2560)
     • Четвертый разряд слева от точки: (1 \cdot 16^3 = 1 \cdot 4096 = 4096)
   • Таким образом, число 1A3F.1A3 в шестнадцатеричной системе равно ( 4096 + 2560 + 48 + 15 = 6719 ) в десятичной системе.

Эти правила помогают преобразовывать числа из двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в десятичную систему, а также понимать, как числа представлены и обрабатываются в различных системах счисления.

В двоичной системе счисления веса разрядов справа от точки, разделяющей целую и дробную часть, увеличиваются вдвое с каждым следующим разрядом. Например, если самый правый разряд имеет вес 2^0 (1), то следующий разряд будет иметь вес 2^(-1) (0.5), следующий - 2^(-2) (0.25) и так далее.

В восьмеричной системе счисления веса разрядов справа от точки также увеличиваются вдвое с каждым следующим разрядом. Например, если самый правый разряд имеет вес 8^0 (1), то следующий разряд будет иметь вес 8^(-1) (0.125), следующий - 8^(-2) (0.015625) и так далее.

В шестнадцатеричной системе счисления веса разрядов справа от точки также увеличиваются вдвое с каждым следующим разрядом. Например, если самый правый разряд имеет вес 16^0 (1), то следующий разряд будет иметь вес 16^(-1) (0.0625), следующий - 16^(-2) (0.00390625) и так далее.

Веса разрядов слева от точки во всех трех системах счисления уменьшаются вдвое с каждым следующим разрядом.

Веса разрядов справа от точки в двоичной системе равны степеням двойки: 1/2, 1/4, 1/8 и т.д. В восьмеричной системе - степеням восьмерки: 1/8, 1/64, 1/512 и т.д. В шестнадцатеричной системе - степеням шестнадцатерки: 1/16, 1/256, 1/4096 и т.д.

Веса разрядов слева от точки в двоичной системе равны степеням двойки: 2, 4, 8 и т.д. В восьмеричной системе - степеням восьмерки: 8, 64, 512 и т.д. В шестнадцатеричной системе - степеням шестнадцатерки: 16, 256, 4096 и т.д.