Как выразить эквивалентность через операции "НЕ", "И" и "ИЛИ"? Докажите полученное тождество.

Эквивалентность двух высказываний можно выразить следующим образом:

Пусть A и B - два высказывания. Тогда A эквивалентно B, если и только если (A И B) ИЛИ (НЕ A И НЕ B).

Докажем это тождество:

1. Пусть A и B - истинные высказывания. Тогда (A И B) ИЛИ (НЕ A И НЕ B) = (истина И истина) ИЛИ (ложь И ложь) = истина ИЛИ ложь = истина. Следовательно, A эквивалентно B.

2. Пусть A - истинное высказывание, B - ложное высказывание. Тогда (A И B) ИЛИ (НЕ A И НЕ B) = (истина И ложь) ИЛИ (ложь И истина) = ложь ИЛИ ложь = ложь. Следовательно, A не эквивалентно B.

3. Пусть A и B - ложные высказывания. Тогда (A И B) ИЛИ (НЕ A И НЕ B) = (ложь И ложь) ИЛИ (истина И истина) = ложь ИЛИ ложь = ложь. Следовательно, A эквивалентно B.

Таким образом, мы доказали тождество: A эквивалентно B, если и только если (A И B) ИЛИ (НЕ A И НЕ B).

Эквивалентность можно выразить следующим образом: A ⇔ B = (A → B) ∧ (B → A) = ((¬A) ∨ B) ∧ ((¬B) ∨ A).

Доказательство:

1. Предположим, что A ⇔ B.
2. Тогда A → B и B → A.
3. Докажем, что ((¬A) ∨ B) ∧ ((¬B) ∨ A):
   • Если A и B истинны, то и ((¬A) ∨ B) и ((¬B) ∨ A) истинны.
   • Если A и B ложны, то и ((¬A) ∨ B) и ((¬B) ∨ A) истинны.
   • Если A истинно, а B ложно, то ((¬A) ∨ B) и ((¬B) ∨ A) истинны.
   • Если A ложно, а B истинно, то ((¬A) ∨ B) и ((¬B) ∨ A) истинны.
4. Таким образом, мы доказали, что A ⇔ B эквивалентно ((¬A) ∨ B) ∧ ((¬B) ∨ A).

Эквивалентность двух логических выражений ( A ) и ( B ) обозначается как ( A \equiv B ) и истинна тогда и только тогда, когда оба выражения имеют одинаковое значение: либо оба истинны, либо оба ложны. В терминах базовых логических операций "НЕ" (( \neg )), "И" (( \land )) и "ИЛИ" (( \lor )), эквивалентность можно выразить следующим образом:

[ A \equiv B \equiv (A \land B) \lor (\neg A \land \neg B) ]

Это выражение говорит нам, что эквивалентность истинна, когда оба ( A ) и ( B ) истинны (это описывается первой частью ( A \land B )) или оба ложны (это описывается второй частью ( \neg A \land \neg B )).

Теперь докажем это тождество:

Построим таблицу истинности для обоих выражений, чтобы убедиться, что они эквивалентны.

• Когда ( A = 0 ) и ( B = 0 ), оба ( \neg A = 1 ) и ( \neg B = 1 ), следовательно, ( \neg A \land \neg B = 1 ), и выражение истинно.
• Когда ( A = 0 ) и ( B = 1 ), ( A \land B = 0 ) и ( \neg A \land \neg B = 0 ), следовательно, выражение ложно.
• Когда ( A = 1 ) и ( B = 0 ), аналогично предыдущему случаю, выражение ложно.
• Когда ( A = 1 ) и ( B = 1 ), оба ( A \land B = 1 ), следовательно, выражение истинно.

Таблицы истинности показывают, что выражение ( A \equiv B ) эквивалентно выражению ( (A \land B) \lor (\neg A \land \neg B) ), тем самым доказывая тождество.