Каково наименьшее натуральное число х, при котором истинно высказывание (х ⋅ (х - 1) < 99) → ((х...

Давайте разберем данное логическое высказывание, чтобы найти наименьшее натуральное число ( x ), при котором оно истинно:

Высказывание имеет вид: ((x \cdot (x - 1) < 99) \to ((x - 1) \cdot (x - 1) > 80)).

Это импликация, которая принимает значение «истина» во всех случаях, кроме одного: когда посылка (левая часть) истинна, а заключение (правая часть) ложно.

1. Анализ посылки: (x \cdot (x - 1) < 99)

   Это неравенство можно переписать как квадратичное: (x^2 - x - 99 < 0).

   Чтобы найти ( x ), удовлетворяющий этому неравенству, найдем корни соответствующего уравнения: ( x^2 - x - 99 = 0 ).

   Дискриминант: ( D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-99) = 1 + 396 = 397 ).

   Корни: [ x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{397}}{2} ]

   Приблизительно, (\sqrt{397} \approx 19.93), значит корни: [ x_1 \approx \frac{1 + 19.93}{2} \approx 10.465, \quad x_2 \approx \frac{1 - 19.93}{2} \approx -9.465 ]

   Поскольку нас интересуют натуральные числа, решение ( x^2 - x - 99 < 0 ) находится в интервале ( x \in (1, 10) ).

2. Анализ заключения: ((x - 1) \cdot (x - 1) > 80)

   Это неравенство можно переписать как: ((x - 1)^2 > 80).

   Найдем приближенное значение для ( x - 1 ): [ x - 1 > \sqrt{80} \approx 8.944 ]

   Следовательно, ( x > 9.944 ), то есть ( x \geq 10 ).

3. Поиск наименьшего x:

   Теперь нужно найти наименьшее натуральное ( x ), удовлетворяющее обоим условиям:

   • ( x \in (1, 10) )
   • ( x \geq 10 )

   Единственное натуральное число, подходящее под эти условия, — это ( x = 10 ).

Проверка:

• Для ( x = 10 ):
  • ((x \cdot (x - 1) = 10 \cdot 9 = 90 < 99)), посылка истинна.
  • ((x - 1)^2 = 9^2 = 81 > 80), заключение истинно.

Посылка истинна, заключение истинно, следовательно, импликация истинна.

Таким образом, наименьшее натуральное число ( x ), при котором высказывание истинно, равно 10.

Для того чтобы найти наименьшее натуральное число x, при котором данное высказывание истинно, нужно рассмотреть каждую часть неравенства по отдельности.

1. (х ⋅ (х - 1) < 99) - это неравенство, которое нужно рассмотреть. Упростим его: раскроем скобки и получим x^2 - x < 99. Далее приведем к квадратному неравенству x^2 - x - 99 < 0. Решив это квадратное неравенство, получим корни x1 ≈ -9.92 и x2 ≈ 10.92. Но так как x - натуральное число, то нас интересует значение x = 10.

2. ((х - 1) ⋅ (х - 1) > 80) - это неравенство, которое также нужно рассмотреть. Упростим его: раскроем скобки и получим (x - 1)^2 > 80. Решив это квадратное неравенство, получим корни x1 ≈ 8.58 и x2 ≈ 11.42. Но так как x - натуральное число, нас интересует значение x = 12.

Таким образом, наименьшее натуральное число х, при котором истинно данное высказывание, равно 12.