Найдите основание системы счисления x, для которого выполняется равенство 32x + 64x = 106x

Для нахождения основания системы счисления x, при котором выполняется равенство 32x + 64x = 106x, нужно решить уравнение следующим образом:

32x + 64x = 106x 96x = 106x 96 = 106

Получаем, что данное равенство верно при x = 96.

Таким образом, основание системы счисления x, для которого выполняется данное равенство, равно 96.

Для решения этой задачи необходимо установить значение x, при котором выполняется уравнение:

[ 32_x + 64_x = 106_x ]

Для начала переведем числа из системы счисления с основанием x в десятичную систему. Следует помнить, что каждая цифра в числе умножается на x, возведенное в степень, соответствующую позиции цифры (начиная справа, с нуля).

Для числа 32x: [ 3x^1 + 2x^0 = 3x + 2 ]

Для числа 64x: [ 6x^1 + 4x^0 = 6x + 4 ]

Для числа 106x: [ 1x^2 + 0x^1 + 6x^0 = x^2 + 6 ]

Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение: [ 3x + 2 + 6x + 4 = x^2 + 6 ]

Сократим и перегруппируем члены: [ 9x + 6 = x^2 + 6 ]

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: [ x^2 - 9x = 0 ]

Разложим уравнение на множители: [ x(x - 9) = 0 ]

Отсюда получаем два корня: [ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 9 ]

Очевидно, что x = 0 не имеет смысла в контексте основания системы счисления, так как основание системы счисления должно быть целым числом больше 1. Следовательно, x = 9.

Проверим:

• ( 32_9 = 3 \times 9 + 2 = 29 )
• ( 64_9 = 6 \times 9 + 4 = 58 )
• ( 106_9 = 1 \times 81 + 0 \times 9 + 6 = 87 )

И действительно, ( 29 + 58 = 87 ). Таким образом, основание системы счисления ( x = 9 ) удовлетворяет данному уравнению.