Определите количество натуральных чисел, удовлетворяющих неравенству: 110101102 < x < DC16

Чтобы решить задачу, необходимо сначала перевести границы неравенства в десятичную систему счисления.

1. Переведем число (110101102) из двоичной системы счисления в десятичную:

[ 110101102_2 ]

Начиная с младшего разряда (справа налево), умножаем каждую цифру на 2, возведенную в степень позиции цифры (начиная с нуля):

[ 1 \cdot 2^8 + 1 \cdot 2^7 + 0 \cdot 2^6 + 1 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 ]

[ = 1 \cdot 256 + 1 \cdot 128 + 0 \cdot 64 + 1 \cdot 32 + 0 \cdot 16 + 1 \cdot 8 + 1 \cdot 4 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1 ]

[ = 256 + 128 + 32 + 8 + 4 + 1 ]

[ = 429 ]

Итак, (1101011022 = 429{10}).

1. Теперь переведем число (DC16) из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную:

[ DC16_{16} ]

Начиная с младшего разряда (справа налево), умножаем каждую цифру на 16, возведенную в степень позиции цифры (начиная с нуля). Напомним, что в шестнадцатеричной системе цифры (A, B, C, D, E, F) соответствуют десятичным значениям (10, 11, 12, 13, 14, 15) соответственно:

[ D \cdot 16^3 + C \cdot 16^2 + 1 \cdot 16^1 + 6 \cdot 16^0 ]

[ = 13 \cdot 4096 + 12 \cdot 256 + 1 \cdot 16 + 6 \cdot 1 ]

[ = 53248 + 3072 + 16 + 6 ]

[ = 56342 ]

Итак, (DC16{16} = 56342{10}).

Таким образом, неравенство (110101102 < x < DC16) в десятичной системе выглядит так:

[ 429 < x < 56342 ]

Теперь необходимо определить количество натуральных чисел, удовлетворяющих этому неравенству:

[ x \in (429, 56342) ]

Количество таких чисел равно разности между верхней и нижней границей интервала, минус 1 (так как границы не включены):

[ 56342 - 429 - 1 ]

[ = 55912 ]

Следовательно, количество натуральных чисел, удовлетворяющих данному неравенству, составляет (55912).

Для определения количества натуральных чисел, удовлетворяющих неравенству 11010110₂ < x < DC₁₆, нужно перевести оба числа в десятичную систему счисления.

11010110₂ = 214 DC₁₆ = 220

Таким образом, натуральные числа, удовлетворяющие неравенству 214 < x < 220 - это числа от 215 до 219 включительно. Таким образом, количество натуральных чисел, удовлетворяющих данному неравенству, равно 5.