По какому алгоритму вводимые в компьютер десятичные числа можно перевести во внутреннее двоичное представление?...

Для перевода десятичных чисел во внутреннее двоичное представление на компьютере обычно используется алгоритм деления на 2 (также известный как "алгоритм деления столбиком"). Этот алгоритм заключается в последовательном делении числа на 2 и записи остатков от деления в обратном порядке. Например, для числа 13:

13 / 2 = 6 (остаток 1) 6 / 2 = 3 (остаток 0) 3 / 2 = 1 (остаток 1) 1 / 2 = 0 (остаток 1)

Таким образом, число 13 в двоичной системе будет представлено как 1101.

Для обратного преобразования двоичного числа обратно в десятичное используется алгоритм умножения на 2. Например, для числа 1101:

1 2^3 + 1 2^2 + 0 2^1 + 1 2^0 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13

Таким образом, двоичное число 1101 будет равно десятичному числу 13.

Десятичные числа в компьютере переводятся в двоичное представление с помощью алгоритма деления на два. Для обратного перевода результатов расчета обычно используется алгоритм умножения на два.

Перевод десятичных чисел в двоичное представление и обратно является фундаментальной задачей в информатике. Рассмотрим процесс пошагово.

Перевод десятичного числа в двоичное

Целая часть

1. Разделение числа на целую и дробную части: Для начала разделим десятичное число на целую и дробную части. Например, для числа 45.625 целая часть будет 45, а дробная — 0.625.
2. Перевод целой части:
   • Делим целую часть на 2.
   • Записываем остаток.
   • Результат деления вновь делим на 2 и снова записываем остаток.
   • Повторяем этот процесс, пока результат деления не станет равным 0.
   • Записываем остатки в обратном порядке.
   • Например, для числа 45:
     • 45 / 2 = 22, остаток 1
     • 22 / 2 = 11, остаток 0
     • 11 / 2 = 5, остаток 1
     • 5 / 2 = 2, остаток 1
     • 2 / 2 = 1, остаток 0
     • 1 / 2 = 0, остаток 1
   • Обратный порядок остатков: 101101.

Дробная часть

1. Умножение дробной части на 2:
   • Умножаем дробную часть на 2.
   • Целую часть результата записываем как следующую цифру после запятой.
   • Дробную часть результата вновь умножаем на 2.
   • Повторяем процесс до тех пор, пока дробная часть не станет равной 0 или пока не достигнем необходимой точности.
   • Например, для числа 0.625:
     • 0.625 * 2 = 1.25, целая часть 1
     • 0.25 * 2 = 0.5, целая часть 0
     • 0.5 * 2 = 1.0, целая часть 1
   • Результат: 0.101.

Сборка результата

• Объединяем результаты перевода целой и дробной части: 45.625 в двоичном представлении будет 101101.101.

Перевод двоичного числа в десятичное

Целая часть

1. Использование степеней двойки:
   • Каждую цифру двоичного числа умножаем на соответствующую степень двойки, начиная с нуля для самой правой цифры.
   • Складываем результаты.
   • Например, для числа 101101:
     • (1 \times 2^5 + 0 \times 2^4 + 1 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0)
     • (1 \times 32 + 0 \times 16 + 1 \times 8 + 1 \times 4 + 0 \times 2 + 1 \times 1 = 32 + 8 + 4 + 1 = 45).

Дробная часть

1. Использование отрицательных степеней двойки:
   • Каждую цифру дробной части двоичного числа умножаем на соответствующую отрицательную степень двойки, начиная с первой цифры после точки (которая будет умножаться на (2^{-1})).
   • Складываем результаты.
   • Например, для числа 0.101:
     • (1 \times 2^{-1} + 0 \times 2^{-2} + 1 \times 2^{-3})
     • (1 \times 0.5 + 0 \times 0.25 + 1 \times 0.125 = 0.5 + 0 + 0.125 = 0.625).

Сборка результата

• Объединяем результаты перевода целой и дробной части: 101101.101 в десятичном представлении будет 45.625.

Заключение

Таким образом, процесс перевода десятичных чисел в двоичное представление и обратно включает последовательное применение деления и умножения на 2 для целых и дробных частей, соответственно. Это позволяет компьютеру эффективно работать с числовыми данными в двоичной системе, которая является основой цифровой электроники и вычислительной техники.