По каналу связи передаются сообщения, содержащие только буквы А, Б, В, Г, Д, Е. Для передачи используется неравномерный двоичный код, удовлетворяющий условию Фано; для букв А, Б, В используются такие кодовые слова: А - 0, Б - 101, В - 110. Какова наименьшая возможная суммарная длина всех кодовых слов?
Примечание: Условие Фано означает, что ни одно кодовое слово не является началом другого кодового слова. Коды, удовлетворяющие условию Фано, допускают однозначное декодирование.
Для решения этой задачи нужно выстроить коды для каждой буквы таким образом, чтобы ни одно кодовое слово не было началом другого кодового слова и чтобы коды были как можно более компактными.
Для букв А, Б, В коды уже даны: А - 0, Б - 101, В - 110. Суммарная длина всех кодовых слов будет равна: 1 1 (длина кода для А) + 1 3 (длина кода для Б) + 1 * 3 (длина кода для В) = 7 бит.
Таким образом, наименьшая возможная суммарная длина всех кодовых слов составляет 7 бит.
Для ответа на этот вопрос, нам нужно найти неравномерные кодовые слова для оставшихся букв (Г, Д, Е), которые удовлетворяют условию Фано и минимизируют суммарную длину всех кодовых слов.
У нас уже есть коды для А (0), Б (101), В (110). Исходя из условия Фано и того, что код А начинается на 0, все другие коды должны начинаться на 1, чтобы избежать нарушения этого условия.
Так как мы уже используем комбинации 101 и 110, оставшимися начальными последовательностями для кодов будут 111 и 10.
Теперь у нас есть коды: А - 0, Б - 101, В - 110, Г - 100, Д - 1110, Е - 1111.
Суммируем длины этих кодов:
Суммарная длина = 1 + 3 + 3 + 3 + 4 + 4 = 18 бит.
Таким образом, наименьшая возможная суммарная длина всех кодовых слов, удовлетворяющая условию Фано, составляет 18 бит.
