Решите уравнение 224(x)+1(10)=101(8) Системы счисления, перевод чисел

x = 3

Конечно! Давайте решим уравнение (224(x) + 1_{10} = 101_8), где (x) — основание системы счисления, в которой записано число (224).

Шаг 1: Перевод числа (101_8) в десятичную систему счисления

Число (101_8) записано в восьмеричной системе счисления. Для перевода его в десятичную систему счисления воспользуемся формулой:

[101_8 = 1 \cdot 8^2 + 0 \cdot 8^1 + 1 \cdot 8^0]

Вычислим:

[1 \cdot 8^2 = 1 \cdot 64 = 64] [0 \cdot 8^1 = 0 \cdot 8 = 0] [1 \cdot 8^0 = 1 \cdot 1 = 1]

Сложим все результаты:

[64 + 0 + 1 = 65]

Итак, (1018) в десятичной системе счисления равно (65{10}).

Шаг 2: Преобразование уравнения в десятичную систему счисления

Теперь у нас есть уравнение в десятичной системе счисления:

[224(x) + 1{10} = 65{10}]

Переведем число (224(x)) в десятичную систему счисления. Для этого представим его в виде:

[224(x) = 2 \cdot x^2 + 2 \cdot x^1 + 4 \cdot x^0]

Шаг 3: Подставим это в уравнение

[2x^2 + 2x + 4 + 1 = 65]

Упростим уравнение:

[2x^2 + 2x + 5 = 65]

Шаг 4: Решение уравнения

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

[2x^2 + 2x + 5 - 65 = 0]

Упростим:

[2x^2 + 2x - 60 = 0]

Разделим все члены на 2:

[x^2 + x - 30 = 0]

Теперь решим квадратное уравнение (x^2 + x - 30 = 0) с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}]

где (a = 1), (b = 1), (c = -30).

Подставим значения (a), (b) и (c):

[x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30)}}{2 \cdot 1}] [x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}] [x = \frac{-1 \pm \sqrt{121}}{2}] [x = \frac{-1 \pm 11}{2}]

Получаем два корня:

1. (x = \frac{-1 + 11}{2} = \frac{10}{2} = 5)
2. (x = \frac{-1 - 11}{2} = \frac{-12}{2} = -6)

Так как основание системы счисления не может быть отрицательным, единственный допустимый корень — (x = 5).

Ответ

Число (224) записано в системе счисления с основанием (5).

Для решения данного уравнения в различных системах счисления, необходимо преобразовать числа из одной системы в другую. Для начала, переведем числа из восьмеричной системы в десятичную:

224(8) = 28^2 + 28^1 + 48^0 = 264 + 28 + 41 = 128 + 16 + 4 = 148(10) 101(8) = 18^2 + 08^1 + 18^0 = 164 + 08 + 11 = 64 + 0 + 1 = 65(10)

Теперь уравнение примет вид: 148(x) + 10 = 65

Выразим x: 148(x) = 65 - 10 148(x) = 55 x = 55 / 148 x ≈ 0.3716

Итак, решение уравнения 224(x) + 10 = 101(8) в десятичной системе счисления составляет приблизительно 0.3716.