Сколько цифр в восьмеричной записи числа 2^299+2^298+2^297+2^296

Для того чтобы найти количество цифр в восьмеричной записи числа 2^299+2^298+2^297+2^296, сначала найдем значение этой суммы.

2^299 = 2 2^298 = 4 2^297 = 8 * 2^296 = 16

Сумма этих чисел равна 31.

Теперь найдем количество цифр в восьмеричной записи числа 31. В восьмеричной системе счисления цифры от 0 до 7. Таким образом, число 31 в восьмеричной записи будет иметь две цифры (3 и 7).

Итак, количество цифр в восьмеричной записи числа 2^299+2^298+2^297+2^296 равно 2.

Чтобы определить количество цифр в восьмеричной записи числа (2^{299} + 2^{298} + 2^{297} + 2^{296}), нужно провести несколько шагов.

1. Общая форма числа: Рассмотрим выражение (2^{299} + 2^{298} + 2^{297} + 2^{296}). Мы можем вынести общий множитель (2^{296}): [ 2^{299} + 2^{298} + 2^{297} + 2^{296} = 2^{296}(2^3 + 2^2 + 2 + 1) ] Заметим, что (2^3 + 2^2 + 2 + 1 = 8 + 4 + 2 + 1 = 15). Таким образом, выражение принимает вид: [ 2^{296} \cdot 15 ]

2. Перевод в десятичную систему: Теперь рассмотрим десятичное значение числа: [ 2^{296} \cdot 15 ] Прежде чем перевести это число в восьмеричную систему, необходимо определить его размер в десятичной системе.

3. Размер числа: Чтобы оценить порядок величины числа (2^{296}), напомним, что (2^{10} \approx 10^3). Следовательно: [ 2^{296} = (2^{10})^{29.6} \approx 10^{3 \cdot 29.6} = 10^{88.8} ] Таким образом, (2^{296}) — это число порядка (10^{88}).

   Умножение на 15 добавляет незначительное количество цифр: [ 2^{296} \cdot 15 \approx 10^{88} \cdot 15 = 1.5 \cdot 10^{89} ] То есть, (2^{296} \cdot 15) — это число порядка (10^{89}), и в десятичной записи оно состоит примерно из 90 цифр.

4. Перевод в восьмеричную систему: Теперь перейдем от десятичной записи к восьмеричной системе. Чтобы перевести количество цифр из одной системы счисления в другую, используется логарифмическое соотношение: [ \text{Количество цифр в восьмеричной записи} = \left\lceil \frac{\log{10}(число)}{\log{10}(8)} \right\rceil ] Подставим (10^{89}) в эту формулу: [ \log{10}(10^{89}) = 89 ] [ \log{10}(8) \approx 0.903 ] Таким образом: [ \frac{89}{0.903} \approx 98.56 ] Округляем до ближайшего целого числа: [ \left\lceil 98.56 \right\rceil = 99 ]

Таким образом, восьмеричная запись числа (2^{299} + 2^{298} + 2^{297} + 2^{296}) содержит 99 цифр.