Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 16...

Системы счисления имеют основание от 2 до бесконечности. Чтобы найти системы счисления, в которых число 16 оканчивается на 1, нужно просто подставить это число в формулу для любой системы счисления и проверить, оканчивается ли оно на 1.

16 в системе счисления по основанию 2 будет записано как 10000, 16 в системе счисления по основанию 3 будет записано как 121, 16 в системе счисления по основанию 4 будет записано как 100, 16 в системе счисления по основанию 5 будет записано как 31, 16 в системе счисления по основанию 6 будет записано как 24, 16 в системе счисления по основанию 7 будет записано как 22, 16 в системе счисления по основанию 8 будет записано как 20, 16 в системе счисления по основанию 9 будет записано как 17, 16 в системе счисления по основанию 10 будет записано как 16, 16 в системе счисления по основанию 11 будет записано как 15, 16 в системе счисления по основанию 12 будет записано как 14, 16 в системе счисления по основанию 13 будет записано как 13, 16 в системе счисления по основанию 14 будет записано как 12, 16 в системе счисления по основанию 15 будет записано как 11, 16 в системе счисления по основанию 16 будет записано как 10.

Итак, системы счисления, в которых число 16 оканчивается на 1, это системы с основаниями 3, 9, 15.

Для того чтобы определить основания систем счисления, в которых запись числа 16 оканчивается на 1, необходимо представить число 16 в виде числа, заканчивающегося на 1 в каждой из этих систем счисления.

Обозначим основание системы счисления через ( b ). Тогда число 16 в этой системе можно представить в виде: [ 16 = kb + 1 ] где ( k ) — это целое число, соответствующее количеству раз, которые ( b ) помещается в 16 с остатком 1.

Для этого уравнения: [ 16 - 1 = kb ] [ 15 = kb ]

Теперь необходимо найти все целые значения ( b ), для которых 15 делится нацело. То есть ( b ) должно быть делителем 15:

Делители числа 15: 1, 3, 5, 15.

Таким образом, основания систем счисления, в которых запись числа 16 оканчивается на 1, это: 1, 3, 5, 15.

Теперь проверим каждое из этих оснований:

1. Основание 1: В данной системе счисления любое число записывается как последовательность единиц, и это основание не является стандартной системой счисления.
2. Основание 3: ( 16_{10} = 121_3 )
3. Основание 5: ( 16_{10} = 31_5 )
4. Основание 15: ( 16{10} = 11{15} )

Таким образом, в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 16 оканчивается на 1, это: 3, 5, 15.