В классе 35 учеников, 12 занимаются в математическом кружке, девять в биологическом, а 16 ребят не посещают...

Для решения этой задачи применим понятие множества и формулу включения-исключения. Рассмотрим шаги подробно.

Дано:

• Общее количество учеников в классе: ( N = 35 ).
• Число учеников, занимающихся в математическом кружке: ( |A| = 12 ).
• Число учеников, занимающихся в биологическом кружке: ( |B| = 9 ).
• Число учеников, не посещающих никакие кружки: ( |C| = 16 ).

Найти:

Число учеников, которые одновременно занимаются и в математическом, и в биологическом кружке, то есть ( |A \cap B| ) (пересечение множеств ( A ) и ( B )).

Решение:

1. Определим, сколько учеников посещают хотя бы один кружок: Если из общего числа учеников (35) вычесть тех, кто не посещает кружки (16), получится число учеников, которые посещают хотя бы один кружок: [ |A \cup B| = N - |C| = 35 - 16 = 19. ]

2. Применим формулу включения-исключения: Формула включения-исключения для двух множеств выглядит так: [ |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|, ] где:

   • ( |A \cup B| ) — количество учеников, посещающих хотя бы один кружок,
   • ( |A| ) — количество учеников, занимающихся в математическом кружке,
   • ( |B| ) — количество учеников, занимающихся в биологическом кружке,
   • ( |A \cap B| ) — количество учеников, которые занимаются и там, и там.

   Подставим известные значения: [ 19 = 12 + 9 - |A \cap B|. ]

3. Найдем пересечение множеств ( A \cap B ): Решим уравнение: [ 19 = 21 - |A \cap B|, ] [ |A \cap B| = 21 - 19 = 2. ]

Ответ:

Количество учеников, которые одновременно занимаются в математическом и биологическом кружках, равно 2.

Для решения задачи можно использовать метод диаграмм Веннa или систем уравнений. Давайте обозначим:

• ( A ) — количество учеников, занимающихся в математическом кружке.
• ( B ) — количество учеников, занимающихся в биологическом кружке.
• ( C ) — количество учеников, занимающихся как в математическом, так и в биологическом кружке.
• ( N ) — общее количество учеников в классе.

Из условий задачи у нас есть следующие данные:

• ( N = 35 ) (всего учеников)
• ( A = 12 ) (занимаются в математическом кружке)
• ( B = 9 ) (занимаются в биологическом кружке)
• ( 16 ) учеников не посещают эти кружки.

Сначала найдем количество учеников, которые занимаются хотя бы в одном из кружков. Для этого вычтем число учащихся, не посещающих кружки, из общего числа:

[ N - 16 = 35 - 16 = 19 ]

Таким образом, 19 учеников занимаются хотя бы в одном из кружков.

Теперь, используя формулу для объединения двух множеств, мы можем записать следующее уравнение:

[ A + B - C = 19 ]

Подставим известные значения ( A ) и ( B ):

[ 12 + 9 - C = 19 ]

Решим это уравнение:

[ 21 - C = 19 ] [ C = 21 - 19 = 2 ]

Таким образом, количество учеников, которые занимаются как в математическом, так и в биологическом кружке, равно 2.

Итак, ответ на вопрос: 2 биолога увлекаются математикой.

Дано: всего 35 учеников, 12 занимаются математикой, 9 — биологией, 16 не посещают кружки.

Сначала найдем общее количество учеников, которые занимаются кружками: 35 - 16 = 19 учеников.

Обозначим:

• (x) — количество учеников, которые занимаются и математикой, и биологией.

Тогда количество учеников, занимающихся только математикой, будет (12 - x), а занимающихся только биологией — (9 - x).

Составим уравнение: [ (12 - x) + (9 - x) + x = 19. ]

Упростим: [ 21 - x = 19, ] [ x = 2. ]

Таким образом, 2 биолога увлекаются математикой.