В корзине лежат белые и черные шары. Сообщение о том, что достали черный шар, несет на 2 бита больше...

Чтобы решить эту задачу, нужно воспользоваться понятием количества информации ( I ), которое несет сообщение. В информатике количество информации измеряется в битах и рассчитывается по формуле:

[ I = -\log_2(p) ]

где ( p ) — вероятность события.

Пусть ( p_B ) — вероятность того, что достали белый шар, а ( p_C ) — вероятность того, что достали черный шар. Эти вероятности связаны соотношением:

[ p_B + p_C = 1 ]

Согласно условию задачи, сообщение о том, что достали черный шар, несет на 2 бита больше информации, чем сообщение о том, что достали белый шар:

[ I_C = I_B + 2 ]

Подставим формулу для количества информации:

[ -\log_2(p_C) = -\log_2(p_B) + 2 ]

Решим это уравнение:

[ -\log_2(p_C) = -\log_2(p_B) + 2 ] [ \log_2(p_B) - \log_2(p_C) = 2 ] [ \log_2\left(\frac{p_B}{p_C}\right) = 2 ] [ \frac{p_B}{p_C} = 2^2 ] [ \frac{p_B}{p_C} = 4 ]

Это означает, что вероятность достать белый шар в 4 раза больше вероятности достать черный шар. Теперь можно выразить ( p_B ) и ( p_C ):

Пусть ( p_C = x ). Тогда ( p_B = 4x ).

Поскольку ( p_B + p_C = 1 ):

[ 4x + x = 1 ] [ 5x = 1 ] [ x = \frac{1}{5} ]

Следовательно,

[ p_C = \frac{1}{5} ] [ p_B = 4 \cdot \frac{1}{5} = \frac{4}{5} ]

Таким образом, вероятность достать белый шар (( p_B )) составляет ( \frac{4}{5} ), а вероятность достать черный шар (( p_C )) — ( \frac{1}{5} ). Из этого следует, что белых шаров в корзине в 4 раза больше, чем черных.

Итак, белых шаров в корзине больше, и их в 4 раза больше, чем черных шаров.

Предположим, что в корзине находится N белых шаров и M черных шаров. Тогда вероятность достать черный шар P(ч) = M / (N + M), а вероятность достать белый шар P(б) = N / (N + M).

Сообщение о том, что достали черный шар, несет на 2 бита больше информации, чем сообщение о том, что достали белый шар. Это означает, что -log₂(P(ч)) = -log₂(M / (N + M)) = -log₂(M) - (-log₂(N + M)) = -log₂(N + M) + log₂(M) = -log₂(P(б)) + 2.

Таким образом, получаем уравнение: -log₂(N + M) + log₂(M) = -log₂(N + M) + log₂(N) + 2.

Упростим его: log₂(M) = log₂(N) + 2.

Прологарифмируем обе стороны уравнения: M = 2N.

Таким образом, в корзине белых шаров в 2 раза больше, чем черных шаров.