В системе счисления с некоторым основанием число 15 записывается в виде 120. Укажите это основание.

Для того чтобы найти основание системы счисления, в которой число 15 записывается как 120, нужно использовать формулу общего вида для перевода числа из одной системы счисления в другую.

Пусть основание системы счисления, в которой дано число, равно n. Тогда число 15 в этой системе можно записать как: 1n^2 + 2n^1 + 0*n^0 = 15

Решая данное уравнение, получаем: n^2 + 2n = 15 n^2 + 2n - 15 = 0

Факторизуем это уравнение: (n + 5)(n - 3) = 0

Отсюда получаем два возможных значения для основания системы счисления: n = -5 или n = 3. Так как основание системы счисления не может быть отрицательным, то искомое основание равно 3.

Итак, число 15 в системе счисления с основанием 3 записывается как 120.

Основание системы счисления равно 5.

Чтобы определить основание системы счисления, в которой число 15 записывается как 120, нам нужно понять, что означает эта запись.

В любой системе счисления с основанием ( b ), число записывается как сумма произведений каждой цифры на соответствующую степень основания.

Число 120 в системе с основанием ( b ) можно разложить следующим образом: [ 1 \times b^2 + 2 \times b^1 + 0 \times b^0. ]

Это выражение должно равняться 15 в десятичной системе: [ 1 \times b^2 + 2 \times b + 0 = 15. ]

Теперь решим это уравнение: [ b^2 + 2b = 15. ]

Приведём уравнение к стандартной квадратной форме: [ b^2 + 2b - 15 = 0. ]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула для нахождения корней квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ) следующая: [ b = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}, ] где ( A = 1 ), ( B = 2 ), ( C = -15 ).

Сначала вычислим дискриминант: [ D = B^2 - 4AC = 2^2 - 4 \times 1 \times (-15) = 4 + 60 = 64. ]

Теперь найдём корни уравнения: [ b = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{2}. ]

[ b = \frac{-2 \pm 8}{2}. ]

Получаем два возможных корня:

1. ( b = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3. )
2. ( b = \frac{-2 - 8}{2} = \frac{-10}{2} = -5. )

Так как основание системы счисления не может быть отрицательным, мы принимаем ( b = 3 ).

Таким образом, основание системы счисления, в которой число 15 записывается как 120, равно 3.