Ваня наблюдает за лягушкой. Изначально она сидит в точке 0 числовой прямой. Каждую секунду она прыгает...

Для решения задачи нужно понять, каким образом лягушка передвигается по числовой прямой, и определить её положение через ( T ) секунд. Лягушка движется по следующему циклу:

1. Сначала она прыгает на 1 вправо, начиная из точки ( 0 ), пока не достигнет точки ( K ).
2. После достижения точки ( K ), она прыгает на 1 влево, пока не вернётся в точку ( 0 ).
3. Затем она вновь повторяет этот цикл.

Основные моменты:

• Один полный цикл движения лягушки состоит из прыжков вправо (длина — ( K ) секунд) и прыжков влево (длина — ( K ) секунд). Таким образом, полный цикл длится ( 2K ) секунд.
• За один полный цикл лягушка возвращается в начальную точку ( 0 ).

Алгоритм решения:

1. Определение текущего полного цикла: Если ( T ) делится на ( 2K ) (длина одного полного цикла), значит лягушка находится в начальной точке ( 0 ), и мы можем сразу вывести результат. В противном случае, нужно определить, сколько времени прошло с начала последнего полного цикла: [ t{\text{остаток}} = T \mod 2K ] Здесь ( t{\text{остаток}} ) — это количество секунд, оставшихся после завершения всех полных циклов.

2. Определение текущего направления:

   • Если ( t{\text{остаток}} \leq K ), то лягушка движется вправо. Её положение будет равно числу прыжков, которые она сделала вправо: [ x = t{\text{остаток}} ]
   • Если ( t{\text{остаток}} > K ), то лягушка движется влево. Чтобы найти её положение на числовой прямой, нужно учитывать, сколько прыжков она уже сделала вправо (( K )) и сколько шагов она сделала влево (( t{\text{остаток}} - K )): [ x = K - (t{\text{остаток}} - K) ] Упрощая, получаем: [ x = 2K - t{\text{остаток}} ]

Итоговая формула:

• Если ( t{\text{остаток}} \leq K ), то ( x = t{\text{остаток}} ).
• Если ( t{\text{остаток}} > K ), то ( x = 2K - t{\text{остаток}} ).

Пример:

Пусть ( K = 3 ) и ( T = 10 ).

1. Длина одного цикла: ( 2K = 6 ).
2. Остаток времени после полного цикла: ( t_{\text{остаток}} = 10 \mod 6 = 4 ).
3. Так как ( t{\text{остаток}} > K ) (4 > 3), лягушка движется влево. Её положение: [ x = 2K - t{\text{остаток}} = 6 - 4 = 2 ]

Ответ: через ( T = 10 ) секунд лягушка окажется в точке ( 2 ).

Заключение:

Задачу можно решить за ( O(1) ), так как для любого ( T ) достаточно вычислить остаток от деления на ( 2K ) и определить направление движения лягушки.

Чтобы определить положение лягушки через ( T ) секунд, нужно учитывать её движение и периодичность. Лягушка совершает циклические прыжки между точками 0 и ( K ).

1. Период движения: Лягушка прыгает от 0 до ( K ) за ( K ) секунд, а затем возвращается обратно в 0 за ( K ) секунд. Таким образом, полный цикл (от 0 до ( K ) и обратно в 0) занимает ( 2K ) секунд.

2. Определение полной цикличности: Чтобы понять, где лягушка окажется через ( T ) секунд, нужно определить, сколько полных циклов она успевает пройти за это время, и сколько секунд остаётся после последнего полного цикла. Это можно сделать, используя деление с остатком: [ \text{Циклы} = \left\lfloor \frac{T}{2K} \right\rfloor ] [ \text{Остаток} = T \mod (2K) ]

3. Анализ остатка:

   • Если остаток ( r ) меньше ( K ) (т.е. ( 0 \leq r < K )), то лягушка находится на позиции ( r ) (она прыгает вправо).
   • Если остаток ( r ) больше или равен ( K ) (т.е. ( K \leq r < 2K )), то лягушка находится на позиции ( 2K - r ) (она прыгает влево).

4. Формула для положения лягушки: В результате, положение лягушки через ( T ) секунд можно выразить так:

   • Если ( r < K ): [ \text{Позиция} = r ]
   • Если ( r \geq K ): [ \text{Позиция} = 2K - r ]

Таким образом, чтобы определить, где окажется лягушка через ( T ) секунд, нужно выполнить следующие шаги:

1. Вычислить ( \text{Циклы} ) и ( \text{Остаток} ).
2. Проанализировать остаток и определить её позицию в зависимости от того, на каком этапе цикла она находится.

Пример:

Допустим, ( K = 5 ) и ( T = 12 ).

1. Полный цикл занимает ( 2K = 10 ) секунд.
2. Количество полных циклов: [ \left\lfloor \frac{12}{10} \right\rfloor = 1 ]
3. Остаток: [ 12 \mod 10 = 2 ]
4. Поскольку остаток ( 2 < 5 ), лягушка находится на позиции ( 2 ).

Таким образом, через 12 секунд лягушка окажется в точке 2 на числовой прямой.