Запись числа 51 в некоторой системе счисления выглядит так: 123q. Найдите основание системы счисления...

Чтобы найти основание системы счисления ( q ), в которой число 51 записывается как ( 123_q ), нужно сначала понять, как работает система счисления.

В системе счисления с основанием ( q ) число ( 123_q ) можно представить в десятичной системе следующим образом:

[ 123_q = 1 \cdot q^2 + 2 \cdot q^1 + 3 \cdot q^0 ]

Теперь упростим это выражение:

[ 123_q = 1 \cdot q^2 + 2 \cdot q + 3 ]

Итак, у нас есть равенство:

[ 1 \cdot q^2 + 2 \cdot q + 3 = 51 ]

Теперь перенесем 51 в левую часть уравнения:

[ q^2 + 2q + 3 - 51 = 0 ]

Упростим это:

[ q^2 + 2q - 48 = 0 ]

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения:

[ q = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

Где ( a = 1 ), ( b = 2 ), ( c = -48 ).

Сначала найдем дискриминант:

[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196 ]

Теперь вычислим корни:

[ q = \frac{-2 \pm \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 14}{2} ]

Теперь найдем два возможных значения для ( q ):

1. ( q_1 = \frac{-2 + 14}{2} = \frac{12}{2} = 6 )
2. ( q_2 = \frac{-2 - 14}{2} = \frac{-16}{2} = -8 ) (это значение не подходит, так как основание системы счисления должно быть положительным)

Таким образом, основание системы счисления ( q ) равно 6.

Ответ: ( q = 6 ).

Для решения этой задачи нужно понять, что число 51 в десятичной системе представлено в некоторой системе счисления с основанием ( q ) как ( 123_q ). Это означает, что число ( 123_q ) в десятичной системе равно 51. Давайте разберем решение пошагово.

1. Что означает запись числа ( 123_q )?

Число ( 123_q ) в системе счисления с основанием ( q ) можно разложить на разряды, каждый из которых умножается на степень основания ( q ): [ 123_q = 1 \cdot q^2 + 2 \cdot q^1 + 3 \cdot q^0 ] Здесь:

• ( 1 \cdot q^2 ) — значение числа в разряде сотен,
• ( 2 \cdot q^1 ) — значение числа в разряде десятков,
• ( 3 \cdot q^0 ) — значение числа в разряде единиц.

Таким образом, число ( 123_q ) в десятичной системе можно записать как: [ 123_q = q^2 + 2q + 3 ]

2. Равенство с десятичным числом

По условию задачи, число ( 123_q ) в десятичной системе равно 51. То есть: [ q^2 + 2q + 3 = 51 ]

3. Решение уравнения

Приведем уравнение к стандартному виду: [ q^2 + 2q + 3 - 51 = 0 ] [ q^2 + 2q - 48 = 0 ]

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac ] Где:

• ( a = 1 ) (коэффициент при ( q^2 )),
• ( b = 2 ) (коэффициент при ( q )),
• ( c = -48 ) (свободный член).

Подставим значения: [ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196 ]

Найдем корни уравнения по формуле: [ q = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ] [ q = \frac{-2 \pm \sqrt{196}}{2 \cdot 1} ] [ q = \frac{-2 \pm 14}{2} ]

Рассчитаем оба корня:

1. ( q_1 = \frac{-2 + 14}{2} = \frac{12}{2} = 6 ),
2. ( q_2 = \frac{-2 - 14}{2} = \frac{-16}{2} = -8 ).

4. Выбор подходящего значения

Основание системы счисления ( q ) должно быть положительным числом больше 1, так как оно определяет количество символов, используемых для записи чисел. Следовательно, ( q = 6 ).

5. Проверка

Подставим ( q = 6 ) в разложение ( 123_q ) и проверим: [ 123_6 = 1 \cdot 6^2 + 2 \cdot 6^1 + 3 \cdot 6^0 ] [ 123_6 = 1 \cdot 36 + 2 \cdot 6 + 3 \cdot 1 = 36 + 12 + 3 = 51 ]

Результат совпадает с условием задачи, значит, ( q = 6 ) найдено верно.

Ответ:

Основание системы счисления ( q = 6 ).